Poziom wykonania zadania

Wskaźnik łatwości zadań standardowego zestawu egzaminacyjnego dla szkoły

Wskaźnik łatwości zadań standardowego zestawu egzaminacyjnego dla klasy IIIa

Wskaźnik łatwości zadań standardowego zestawu egzaminacyjnego dla klasy IIIb

Komentarz

Zadania z zakresu matematyki sprawdzały treści ze wszystkich wymagań ogólnych zapisanych w podstawie programowej. Umiejętności uczniów sprawdzane były zarówno zadaniami zamkniętymi, jak i otwartymi. Za rozwiązanie zadań zamkniętych gimnazjaliści uzyskali średnio 58% punktów możliwych do zdobycia, a za zadania otwarte średnio 39% punktów. Uczniowie mieli do rozwiązania 23 zadania, spośród których dla kl. IIIa dwa  okazały się  bardzo łatwe, dwa łatwe, pozostałe były umiarkowanie trudne (8 zadań), trudne (9 zadań) i bardzo trudne ( 2 zadanie).  Dla kl. IIIb  7 okazało się  łatwych, pozostałe były umiarkowanie trudne (11 zadań), trudne (6 zadań). Nie było zadań bardzo łatwych i bardzo trudnych.

Najłatwiejsze dla zdających okazały się zadania umieszczone w kontekście praktycznym: uczniowie bez problemu odczytywali i przetwarzali informacje przedstawione w formie opisu i schematu, obliczali czas potrzebny na przejazd kolejki od górnej stacji do wskazanego miejsca przy danej prędkości oraz znajdowali długość trasy, znając prędkość kolejki i czas przejazdu tą trasą -  zadanie 1. (poziom wykonania 71%). W zadaniu 2. (poziom wykonania dla kl. IIIa 95%, kl. IIIb 88%), w którym należało obliczyć długość trasy, zadanie okazało się najłatwiejsze w zestawie. Łatwe były też zadania, w których uczniowie odczytywali i interpretowali informacje przedstawione za pomocą wykresów funkcji, obliczali wartości funkcji podanych nieskomplikowanym wzorem. W zadaniu 8. (poziom wykonania dla kl. IIIa  90% , dla kl. IIIb 76%) na podstawie wykresu przedstawiającego, jak zmienia się masa porcji lodów z wafelkiem w zależności od liczby gałek lodów, należało ustalić masę jednej gałki lodów bez wafelka. W zadaniu 13. (poziom wykonania dla kl. IIIb  82%) do podanego wzoru opisującego zależność objętości wody w zbiorniku od czasu upływającego podczas opróżniania tego zbiornika należało dobrać wykres, który tę zależność przedstawia. Skoro zbiornik był opróżniany, to efektem końcowym był brak wody w tym zbiorniku, czyli wartość funkcji opisanej wzorem jest wówczas równa zero. Dla 86% piszących było oczywiste, że końcowym rezultatem będzie pusty zbiornik, gorzej to zadanie wypadło w kl. IIIa,  poziom wykonania 48%. W obu tych zadaniach uczniowie wykorzystywali zależności funkcyjne, a w kl. IIIa w jednym poziom wykonania 90% a w drugim 48%.

W dwóch zadaniach, jednym zamkniętym i jednym otwartym  uczniowie  mieli  wykorzystać  związki  między wielkościami za pomocą równań lub układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Świadczą o tym zadania: 7. (poziom wykonania kl. IIIa  57% i kl. IIIb 53%) i 21. (poziom wykonania  kl. IIIa 57% i kl. IIIb 67%). W zadaniu 7. zapisano układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi zgodny z warunkami zadania tekstowego. Rolą ucznia było zidentyfikowanie, co oznacza jedna ze zmiennych w tym układzie. Natomiast w zadaniu 21. uczeń musiał sam zbudować model matematyczny sytuacji praktycznej opisanej w zadaniu i odpowiedzieć na postawione pytanie. Zasadniczą trudnością zadania było zapisanie poprawnego równania lub układu równań opisującego związki między wielkościami podanymi w zadaniu. Dla kl. IIIb łatwiejsze okazało się zadanie otwarte, gdzie uczniowie sami mieli ułożyć układ i obliczyć wskazane wielkości.

Z zadaniami, w których należało wykorzystać umiejętność działań na ułamkach lub stosować podstawowe własności liczb wymiernych, świadczą o tym zadania 3. i 12., które sprawdzały stosowanie algorytmów podstawowych działań – pierwsze odnosiło się do konkretnych liczb, drugie – do wyrażeń algebraicznych. Zadanie 3. (poziom wykonania kl. IIIa 52% i kl.IIIb 65%) wymagało od ucznia obliczenia wartości niezbyt skomplikowanego wyrażenia arytmetycznego oraz usytuowania otrzymanego wyniku pomiędzy dwiema liczbami. W zadaniu 12. (poziom wykonania dla kl. IIIa 57% a dla kl. IIIb 76%) uczeń miał stwierdzić, ile wartości liczbowych podanych wyrażeń algebraicznych to liczby dodatnie. Zapisane wyrażenia odnosiły się do działań na liczbach, z których jedna była dodatnia, a druga ujemna. Uczeń powinien wiedzieć, że iloczyn i iloraz dwóch liczb przeciwnych znaków jest liczbą ujemną, kwadrat dowolnej liczby, różnej od zera, jest zawsze liczbą dodatnią, a wynik odejmowania liczby ujemnej od liczby dodatniej też jest dodatni.

 Najtrudniejsze dla kl. IIIa  okazało się zadanie 4 w którym uczeń miał wykorzystać umiejętność wykonywania działań z zastosowaniem pierwiastków drugiego stopnia  ( poziom wykonania dla kl. IIIa 14% dla kl. IIIb 53%).

Umiejętność wykonywania działań z zastosowaniem pierwiastków drugiego stopnia miała też kluczowe znaczenie przy rozwiązywaniu zadania 14. (poziom wykonania w tym przypadku dla kl. IIIa 43% a dla kl. IIIb 59%). Trudniejsze niż zadania z arytmetyki okazały się dla uczniów zadania dotyczące zagadnień z geometrii, a wśród zadań geometrycznych znacznie trudniejsze były zadania ze stereometrii niż z planimetrii. Najtrudniejszymi dla gimnazjalistów zadaniami z planimetrii okazały się zadania sprawdzające umiejętność przeprowadzenia prostego rozumowania, które wymagały wnioskowania i interpretowania wyników czy argumentowania. Były to zadania: 14. (poziom wykonania  dla kl.IIIa 43% i dla kl. IIIb 59% ) i 22. (poziom wykonania  dla kl. IIIa 26% i dla kl. IIIb 38%). Do poprawnego rozwiązywania zadań ze stereometrii potrzebna jest dobrze ukształtowana wyobraźnia przestrzenna, a tej niestety wielu uczniom brakuje, szczególnie przy zadaniach otwartych. Rozwiązując zadania z geometrii przestrzennej, uczniowie mieli też problem z dobraniem modelu matematycznego do opisanej sytuacji i zauważeniem związków między wielkościami. Dobrą ilustracją tego problemu jest zadanie 20., w którym należało ocenić prawdziwość podanych stwierdzeń. Aby rozwiązać to zadanie uczeń powinien ustalić relację pomiędzy objętościami ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i sześcianu oraz obliczyć długość krawędzi sześcianu. Jeśli ostrosłup prawidłowy czworokątny i sześcian mają jednakowe podstawy i równe wysokości, to objętość sześcianu jest trzy razy większa od objętości ostrosłupa. Wystarczy proste porównanie wzorów na obliczanie objętości tych brył. W konsekwencji dwóch poprawnych odpowiedzi udzieliło tylko  ( w kl. IIIa 24% zdających, w kl. IIIb 41%).

Szczególnie dużo problemów mieli uczniowie, gdy sytuacja była przedstawiona w nietypowy sposób i należało dobrać odpowiedni algorytm do warunków opisanych w zadaniu. Potwierdzenia tej obserwacji dostarczają niewątpliwie rozwiązania zadania otwartego, które okazało się jednym z najtrudniejszych zadań w tegorocznym arkuszu (poziom wykonania 24%). Zdający, rozwiązując je, musieli wykazać się umiejętnościami przeprowadzenia prostego rozumowania matematycznego i użycia właściwej strategii. Do wyznaczenia objętości pudełka mającego kształt walca uczeń powinien obliczyć, korzystając z danych w zadaniu, długość promienia podstawy walca i wysokość tej bryły. Mając daną długość boku równoległoboku i jego powierzchnię (ściana boczna walca), można było wyznaczyć wysokość, która była również wysokością danego pudełka oraz znając obwód koła będącego podstawą pudełka, obliczyć długość promienia. Przy podanej przybliżonej wartości liczby π i znajomości wzoru na objętość walca nietrudno już było uzyskać właściwy wynik. Trzech na czterech uczniów nie poradziło sobie z wyznaczeniem właściwych wielkości – nie znało wzorów na obliczanie: pola równoległoboku, długości okręgu czy objętości walca lub niepoprawnie przekształcało te wzory, a także popełniało błędy rachunkowe w trakcie obliczeń.

Analiza uzyskanych podczas tegorocznego egzaminu rozwiązań zadań (zarówno zamkniętych: 4.,5., 20., jak i zadania otwartego 22 i 23.) pokazała, że uczniowie mają problem z zadaniami, które wymagają połączenia ze sobą treści kilku wymagań szczegółowych, dostrzeżenia zależności, przeprowadzenia rozumowania i sformułowania poprawnych wniosków. Wszystkie zadania reprezentujące Rozumowanie i argumentację uzyskały bardzo zbliżony poziom wykonania (odpowiednio: 32%, 32% 32%, 32% i  24%), co pozwala stwierdzić, że statystycznie co trzeci uczeń radzi sobie z takimi zadaniami.

Zadanie 5. nie wymagało od uczniów wykonywania skomplikowanych obliczeń, tylko zauważenia i zastosowania pewnej reguły. W kolejnych potęgach liczby 7 jako cyfry jedności cyklicznie powtarzają się cyfry: 7, 9, 3, 1. Zatem, co czwarta potęga liczby 7 z wykładnikiem podzielnym przez 4 ma na końcu cyfrę 1. Wykładnik 190 z dzielenia przez 4 daje resztę równą 2, stąd sto dziewięćdziesiąta potęga liczby 7 będzie miała taką cyfrę jedności jak druga liczba w zauważonym cyklu, tj. cyfrę 9. Wnikliwe czytanie i analizowanie zapisów zadania decydowało o właściwym wyborze odpowiedzi. Polecenie wyraźnie skupiało uwagę na cyfrze jedności każdej potęgi liczby 7, a proponowane odpowiedzi zawierały dokładnie takie cyfry, jakie pojawiały się cyklicznie w rzędzie jedności kolejnych potęg liczby 7. Niektórzy uczniowie zamiast skoncentrować się na znalezieniu relacji (zależności) pomiędzy cyfrą jedności a wykładnikiem potęgi skupiali uwagę na szybko wzrastających wartościach potęg, a nawet próbowali obliczać kolejne, których wartości nie podano w zadaniu. Ci, którzy nie potrafili zauważyć tej zależności, dokonywali przypadkowych wyborów odpowiedzi. Uczniowie, którzy potrafili z przesłanek wyprowadzić właściwy wniosek i w konsekwencji wybrali poprawną odpowiedź stanowili 32% zdających.

Umiejętność rozumowania i argumentacji badano także zadaniem otwartym. Było to zadanie 22. Należało w nim uzasadnić, że pole prostokąta, w którym przekątna z bokiem tworzy kąt 30°, jest równe polu trójkąta równobocznego o boku równym przekątnej tego prostokąta. Zadanie to można było rozwiązać różnymi sposobami, ale każdy z nich wymagał od uczniów znajomości własności figur płaskich i umiejętności argumentowania.

Do zapisu swojego rozumowania gimnazjaliści używali nieporadnego języka, a argumentowanie było chaotyczne. Jeśli do uzasadnienia tezy wykorzystywali wzory na obliczanie pola prostokąta i trójkąta równobocznego, to często te same zmienne oznaczały inne wielkości. W wielu przypadkach uczniowie ograniczali się do zapisania pól prostokąta i trójkąta, zapominając o wykazaniu ich równości. Często, przekształcając wyrażenia, popełniali błędy. Reasumując, większość zdających miała problem z wykorzystaniem posiadanej wiedzy do sformułowania syntetycznej informacji, uzasadniającej prawdziwość faktu, że pole trójkąta równobocznego o boku długości przekątnej danego prostokąta jest równe polu tego prostokąta.

Wnioski i rekomendacje

Osiągnięcia gimnazjalistów w zakresie opanowania wiadomości i umiejętności matematycznych określonych w wymaganiach szczegółowych podstawy programowej są bardzo zróżnicowane. Obok rozwiązań w całości poprawnych, świadczących o dużej wiedzy i umiejętności samodzielnego myślenia, były odpowiedzi błędne, niepełne lub będące dowodem niezrozumienia treści zadania. Łatwość arkusza egzaminacyjnego wyniosła 52%, a poziom wykonania poszczególnych zadań – od 24% do 92%.

W tym roku, podobnie jak w latach ubiegłych, gimnazjaliści uzyskali wyższe wyniki za rozwiązanie zadań zamkniętych niż otwartych. Zadania tematycznie związane z arytmetyką są dla uczniów łatwiejsze niż zadania tematycznie związane z geometrią. Szczególną uwagę należy zwrócić na zadania sprawdzające rozumowanie i argumentację, których poziom wykonania w kolejnych latach jest niski (w przypadku zadań z geometrii wymagających samodzielnego sformułowania rozwiązania nie przekroczył 39%). Trudnością dla gimnazjalistów jest sposób uzasadniania prawdziwości postawionej tezy. Uczniowie często argumentują nieporadnym językiem matematycznym, bez przemyślanej strategii i porządku, zapominają o podsumowaniu lub zapisaniu wniosków. W praktyce szkolnej należy wykorzystywać większą liczbę zadań na uzasadnianie i argumentację, kształcić język wypowiedzi, utrwalać dobre nawyki myślowe, zachęcać do aktywności w rozwiązywaniu problemów.

Uczniowie dobrze radzą sobie z rozwiązywaniem zadań umieszczonych w kontekście praktycznym oraz tych, w których mogą zastosować znany sobie algorytm. Jednak, mimo posiadanej wiedzy, czują się bezradni wobec sytuacji opisanej nieszablonowo, nie potrafią dobrać odpowiedniego algorytmu do warunków podanych w zadaniu, a być może mają też trudności z wnikliwym przeczytaniem i przeanalizowaniem treści zadań. Dlatego dobrze byłoby, aby uczniowie na lekcjach rozwiązywali zadania, w których problem został przedstawiony w nietypowy sposób. Radzenie sobie w sytuacjach dotąd nieznanych to ważna umiejętność nie tylko matematyczna.